Miss Math

Sunday, December 2, 2012

Metode Bisection n' Regula Falsi

Dasar Teori

Penyelesaian persamaan non linier adalah penentuan akar-akar persamaan non linier. Akar sebuah persamaan adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai sama dengan nol. Dengan kata lain akar persamaan adalah titik potong antara kurva dan sumbu X.

Beberapa persamaan polynomial yang sederhana dapat diselesaikan dengan theorema sisa, sehingga tidak memerlukan metode numerik dalam menyelesaikannya, karena metode analitik dapat dilakukan.Tetapi bagaimana menyelesaikan persamaan . Tampaknya sederhana, tetapi untuk menyelesaikan persamaan non linier merupakan metode pencarian akar secara berulang-ulang. Beberapa metode akan dibahas dalam bab ini, diantaranya adalah metode bisection dan regula falsi.

Metode Bisection

Sebelum lebih jauh membahas metode bisection, ada sebuah teorema yang senantiasa digunakan dalam proses iterasi sebagai berikut.

Theorema 1.

Suatu fungsi f(x) terdefinisi dan diketahui sebuah range . Fungsi f(x) akan mempunyai akar bila dan berlawanan tanda atau memenuhi

Ide awal metode ini adalah metode table, dimana area dibagi menjadi N bagian. Hanya saja metode bisection ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.

Gambar 1. Pencarian akar menggunakan metode bisection

Untuk menggunakan metode bisection, terlebih dahulu ditentukan batas bawah (a) dan batas atas (b). Kemudian dihitung nilai tengah :

Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar. Secara matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau dituliskan . Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar.

Metode Regula Falsi

Metode regula falsi adalah metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range. Seperti halnya metode biseksi, metode ini bekerja secara iterasi dengan melakukan update range. Titik pendekatan yang digunakan oleh metode regula-falsi adalah :

Jika dituliskan dalam bentuk yang lain, nilai akar x adalah sebagai berikut :

Dengan kata lain titik pendekatan x adalah nilai rata-rata range berdasarkan f(x). Metode regula falsi secara grafis digambarkan sebagai berikut :

Gambar 2. Metode regula falsi

Prosedur Matlab

Algoritma metode bisection

Definisikan fungsi f(x) yang akan dicari akarnya.
Tentukan nilai a dan b
Tentukan torelansi e dan iterasi maksimum N
Hitung f(a) dan f(b)
Jika f(a).f(b)>0 maka proses dihentikan karena tidak ada akar, bila tidak dilanjutkan.
Hitung
Hitung f(x)
Bila f(x).f(a)<0 maka b=x dan f(b)=f(x), bila tidak a=x dan f(a)=f(x)
Jika |b-a|<e atau iterasi>iterasi maksimum maka proses dihentikan dan didapatkan akar = x, dan bila tidak, ulangi langkah 6.

Algoritma metode regula falsi

Definisikan fungsi f(x).
Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b).
Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n).
Hitung f(a) dan f(b).
Untuk iterasi i = 1 s/d n atau error > e
- hitung f(x)
- Hitung error e_i.
- Jika f(x).f(a) <0 maka b = x dan f(b) = f(x). Jika tidak a x dan f(a) = f(x)

6. Akar persamaan adalah x.

Flowchart metode bisection

Flowchart metode regula falsi

Selanjutnya dapat di lihat di web www.iaincirebon.ac.id/tmtk

Friday, November 30, 2012

Dekomposisi LU

Dekomposisi matriks LU merupakan salah satu metode numerik untuk menyelesaikan persamaan matriks.

Apabila secara analitik, mungkin akan sangat mudah menyelesaikan persamaan matriks seperti ini AX=B, dimana kita hanya mengetahui nilai matriks A dan matriks B saja, sementara kita tidak tahu nilai dari matriks X. Secara analitik kita dapat tuliskan bahwa matriks X merupakan perkalian dari inverse matriks A dengan matriks B, atau dapat ditulis X=A^-1B.

Namun bagaimana jika matriks A merupakan matriks dengan dimensi 100×100 atau 1000×1000, walaupun dikasih uang satu juta saya juga ga bakalan mau ngerjain hal ‘sia-sia’ seperti itu secara analitik. Tetapi dengan metode numerik dan tentu saja dengan bantuan kemampuan programming hal seperti itu akan lebih mudah dikerjakan.

Pertanyaannya, apa sih kegunaan dekomposisi matriks di dunia real? Saya akan menjawab metode ini dapat digunakan untuk melakukan interpolasi polinomial secara numerik tentunya atau dalam bidang yang sedang saya geluti, metode ini dapat membantu saja menyelesaikan persamaan Difusi Netron.

Pada metode LU Decomposition, matriks A ditulis ulang sebagai perkalian matriks L dan U (matriks A diurai menjadi matriks L dan U). Matriks L dan U merupakan matriks segitiga. Matriks B tidak berubah, karena matriks A tidak berubah, melainkan hanya ditulis ulang.

Langkah:

1. Cari matriks L dan U sehingga A = LU. Matriks B tetap.

2. Definisikan sebuah matriks kolom baru, misalnya Y, yaitu Y = UX, sehingga LY = B. Lalu hitung y dengan substitusi maju (mulai dari Y₁ sampai Y_n ).

3. Hitung x dengan substitusi mundur (mulai dari X₁ sampai X_n).

Hmm… pasti masih ga kebayang kan ya??

Oke ini contoh sederhananya menggunakan matriks A dengan dimensi 4×4.

Pada dekomposisi matriks LU , A = LU sehingga didapatkan persamaan

$\begin{pmatrix} 1& 0& 0& 0\\ l_{21} & 1& 0&0 \\ l_{31} & l_{32} & 1&0 \\ l_{41}& l_{42} &l_{43} & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u_{11} &u_{12} &u_{13} &u_{14} \\ 0&u_{22} &u_{23} &u_{24} \\ 0& 0&u_{33} &u_{34} \\ 0& 0& 0& u_{44} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} &a_{14} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} &a_{24} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} &a_{34} \\ a_{41} &a_{42} &a_{43} &a_{44} \end{pmatrix}$

Dari perkalian matriks maka didapatkan

a₁₁ = u₁₁
a₁₂ = u₁₂
a₁₃ = u₁₃
a₁₄ = u₁₄
a₂₁= l₂₁u₁₁
a₂₂ = l₂₁u₁₂ + u₂₂
a₂₃ = l₂₁u₁₃ + u₂₃
a₂₄ = l₂₁u₁₄ + u₂₄
a₃₁ = l₃₁u₁₁
a₃₂ = l₃₁u₁₂+ l₃₂u₂₂
a₃₃ = l₃₁u₁₃ + l₃₂u₂₃ + u₃₃
a₃₄ = l₃₁u₁₄ + l₃₂u₂₄ + u₃₄
a₄₁= l₄₁u₁₁
a₄₂ = l₄₁u₁₂+ l₄₂u₂₂
a₄₃ = l₄₁u₁₃ + l₄₂u₂₃ + l₄₃u₃₃
a₄₄ = l₄₁u₁₄ + l₄₂u₂₄ + l₄₃u₂₃ + u₄₄

Sehingga dapat didefinisikan
u_1j = a_1j(j= 1, … ,n)

$l_{i1}=\frac{a_{i1}}{u_{11}}$

dengan (i = 2, …, n)

$u_{ij}=a_{ij}-\sum_{k=1}^{i-1}l_{ik}u_{kj}$

dengan (i =2, … ,n; j=i, …, n), kemudian

$l_{ij}=\frac{1}{u{ij}}\left ( a_{ij}-\sum_{k=1}^{j-1}l_{ik}u_{kj} \right )$

dengan (i=3, …, n; j=2, …, i-1)

LY=B, dalam bentuk matriks dapat ditulis

$\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 &0 \\ l_{21}&1 &0 &0 \\ l_{31}&l_{32} &1 &0 \\ l_{41}&l_{42} &l_{43} & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_{1}\\ y_{2}\\ y_{3}\\ y_{4} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3}\\ b_{4} \end{pmatrix}$

Sehingga dapat didefinisikan
y₁= b₁

$y_{i}=b_{i}-\sum_{j=1}^{i-1}l_{ij}y_{j}$

dengan (i =2, …, n) dan

UX=Y, dalam bentuk matriks dapat dituliskan

$\begin{pmatrix} u_{11} &u_{12} &u_{13} &u_{14} \\ 0 &u_{22} &u_{23} &u_{24} \\ 0 &0 &u_{33} &u_{34} \\ 0 &0 &0 &u_{34} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ x_{4} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y_{1}\\ y_{2}\\ y_{3}\\ y_{4} \end{pmatrix}$

sehingga dapat didefiniskan
x = y_n
$x_{n-i}=\left ( y_{n-i}-\sum_{j=n-i+1}^{n}u_{n-i,j}x_{j}\frac{1}{u_{n-i,n-i}} \right )$

dengan (i =1, … , n-1)

Nah sekarang matriks X sudah kita dapatkan…

dapat di lht webwww.iaincirebon.ac.id/tmtk

dkinantips.blogspot.com

fitthree16.blogspot.com

Metode Secant part 2

Pada Metode Newton-Raphson memerlukan syarat wajib yaitu fungsi f(x) harus memiliki turunan f’(x). Sehingga syarat wajib ini dianggap sulit karena tidak semua fungsi bisa dengan mudah mencari turunannya. Oleh karena itu muncul ide dari yaitu mencari persamaan yang ekivalen dengan rumus turunan fungsi. Ide ini lebih dikenal dengan nama Metode Secant. Ide dari metode ini yaitu menggunakan gradien garis yang melalui titik (x₀, f(x₀)) dan (x₁, f(x₁)). Perhatikan gambar dibawah ini.

Persamaan garis l adalah

$\frac{x-x_1}{x_0-x_1}$ = $\frac{y-f(x_1)}{f(x_0)-f(x_1)}$

Karena x = x₂ maka y = 0, sehingga diperoleh

$\frac{x_2-x_1}{x_0-x_1}$ = $\frac{0-f(x_1)}{f(x_0)-f(x_1)}$

x₂ – x₁ = $-\frac{f(x_1)[x_0-x_1]}{f(x_0)-f(x_1)}$

x₂ = x₁ – $\frac{f(x_1)[x_0-x_1]}{f(x_0)-f(x_1)}$

= x₁ – $\frac{f(x_1)[x_1-x_0]}{f(x_1)-f(x_0)}$

secara umum rumus Metode Secant ini ditulis

x_n+1 = x_n – $\frac{f(x_n)[x_n-x_{n-1}]}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$

Prosedur Metode Secant :

Ambil dua titik awal, misal x₀ dan x₁. Ingat bahwa pengambilan titik awal tidak disyaratkan alias pengambilan secara sebarang. Setelah itu hitung x₂ menggunakan rumus diatas. Kemudian pada iterasi selanjutnya ambil x₁ dan x₂ sebagai titik awal dan hitung x₃. Kemudian ambil x₂ dan x₃ sebagai titik awal dan hitung x₄. Begitu seterusnya sampai iterasi yang diingankan atau sampai mencapai error yang cukup kecil.

Contoh :

Tentukan salah satu akar dari 4x³ – 15x² + 17x – 6 = 0 menggunakan Metode Secant sampai 9 iterasi.

Penyelesaian :

f(x) = 4x³ – 15x² + 17x – 6

iterasi 1 :

ambil x₀ = -1 dan x₁ = 3 (ngambil titik awal ini sebarang saja, tidak ada syarat apapun)

f(-1) = 4(-1)³ – 15(-1)² + 17(-1) – 6 = -42

f(3) = 4(3)³ – 15(3)² + 17(3) – 6 = 18

x₂ = (3) – $\frac{(18)[3-(-1)]}{18-(-42)}$ = 1.8

iterasi 2 :

ambil x₁ = 3 dan x₂ = 1.8

f(1.8) = 4(1.8)³ – 15(1.8)² + 17(1.8) – 6 = -0.672

x₃ = (1.8) – $\frac{(-0.672)[1.8-(3)]}{-0.672-18}$ = 1.84319

iterasi 3 :

ambil x₂ = 1.8 dan x₃ = 1.84319

f(1.84319) = 4(1.84319)³ – 15(1.84319)² + 17(1.84319) – 6 = -0.57817

x₄ = (1.84319) – $\frac{(-0.57817)[1.84319-1.8]}{-0.57817-(0.672)}$ = 2.10932

iterasi 4 :

ambil x₃ = 1.84319 dan x₄ = 2.10932

f(2.10932) = 4(2.10932)³ – 15(2.10932)² + 17(2.10932) – 6 = 0.65939

x₅ = (2.10932) – $\frac{(0.65939)[2.10932-1.84319]}{0.65939-(-0.57817)}$ = 1.96752

iterasi 5 :

ambil x₄ = 2.10932 dan x₅ = 1.96752

f(1.96752) = 4(1.96752)³ – 15(1.96752)² + 17(1.96752) – 6 = -0.15303

x₆ = (1.96752) – $\frac{(-0.15303)[1.96752-2.10932]}{-0.15303-0.65939)}$ = 1.99423

iterasi 6 :

ambil x₅ = 1.96752 dan x₆ = 1.99423

f(1.99423) = 4(1.99423)³ – 15(1.99423)² + 17(1.99423) – 6 = -0.02854

x₇ = (1.99423) – $\frac{(-0.02854)[1.99423-1.96752]}{-0.02854-(-0.15303)}$ = 2.00036

iterasi 7 :

ambil x₆ = 1.99423 dan x₇ = 2.00036

f(2.00036) = 4(2.00036)³ – 15(2.00036)² + 17(2.00036) – 6 = 0.00178

x₈ = (2.00036) – $\frac{(0.00178)[2.00036-1.99423]}{0.00178-(-0.02854)}$ = 2.00000

iterasi 8 :

ambil x₇ = 2.00036 dan x₈ = 1.999996

f(1.999996) = 4(1.999996)³ – 15(1.999996)² + 17(1.999996) – 6 = -0.0002

x₉ = (1.999996) – $\frac{(-0.0002)[1.999996-2.00036]}{-0.0002-0.00178}$ = 2.0000

iterasi 9 :

ambil x₈ = 1.999996 dan x₉ = 2.00000

f(2.00000) = 4(2.00000)³ – 15(2.00000)² + 17(2.00000) – 6 = 0.00000

x₁₀ = (2.00000) – $\frac{(0.00000)[2.00000-1.999996]}{0.00000-(-0.00002)}$ = 0.00000

n	x_n-1	x_n	x_n+1	f(x_n-1)	f(x_n)	f(x_n+1)
1 2 3 4 5 6 7 8 9	-1 3 1.8 1.84319 2.10932 1.96752 1.99423 2.00036 2.00000	3 1.8 1.84319 2.10932 1.96752 1.99423 2.00036 2.00000 2.00000	1.8 1.84319 2.10932 1.96752 1.99423 2.00036 2.00000 2.00000 2.00000	-42 18 -0.672 -0.57817 0.65939 -0.15303 -0.02854 0.00178 -0.00002	18 -0.672 -0.57817 0.65939 -0.15303 -0.02854 0.00178 -0.00002 0.00000	-0.672 -0.57817 0.65939 -0.15303 -0.02854 0.00178 -0.00002 0.00000 0.00000

Jadi salah satu akar dari 4x³ – 15x² + 17x – 6 = 0 adalah 2

Selanjutnya dapat di lihat webwww.iaincirebon.ac.id/tmtk

Serba-Serbi Metnum

Pengertian dan Kegunaan Metode Numerik

Beberapa definisi metode numerikdikemukakan ahli matematika, misalnya metode numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmetika (Chapra dan Chanale, 1991); metode numerik adalah teknik -teknik yang digunakan untuk merumuskan masalah matematika agar dapat diselesaikan han ya dengan operasi hitungan, yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Susila, 1994 ; Ibraheem dan Hisyam, 2003). Terdapat banyak jenis metode numerik, namun pada dasarnya, masing -masing metode tersebut memiliki karakteristik umum, yaitu selalu mencakup sejumlah kalkulasi aritmetika. Jadi metode numerik adalah suatu teknik untuk memformulasikan masalah matematika sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmetika yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Rochmad, 2011).

Di samping itu menurut Rochmad (2011) ada sejumlah alasan mengapa orang menggunakan metode numerik untuk memecahkan masalah yang dihadapinya. Beberapa alasan tersebut sebagai berikut.

Metode numerik merupakan suatu teknik untuk menyelesaikan masalah matematika yang efektif dan efisien. Dengan bantuan komputer ia sanggup menangani masalah yang rumit dan melibatkan perhitungan y ang luas, misalnya untuk memecahkan masalah solusi suatu persamaan tak linear, sistem persamaan yang besar, dan permasalahan lainnya termasuk dalam teknik dan sosial. Masalah yang sering sulit atau bahkan tidak mungkin dapat diselesaikan secara analitis dapat diselesaikan dengan metode numerik.
Saat ini terdapat berbagai paket program komputer (misalnya exel, maple, matlab, atau program paket lainnya) yang tersedia dan diperdagangkan sehingga mudah didapat yang dalam pengoperasiannya mencakup metode numerik. Dengan demikian, pemecah masalah tinggal menyesuaikan dengan karakteristik program paket tersebut dengan algortima yang digunakan dalam pemecahan masalah.
Apabila masalah yang dihadapi sulit diselesaikan dengan bantuan program paket komputer, maka pemecah masalah dapat menggunakan program komputer (misalnya basic, pascal, fortran, atau program komputer lainnya). Jika pemecah masalah mahir mendesain program sendiri, maka pemecah masalah dapat lebih leluasa dalam menggunakan metode numerik untuk memecahka n masalah yang dihadapinya.
Di sisi lain, metode numerik merupakan semacam sarana yang efisien untuk mengenal karakteristik komputer dan mendesain algoritma, diagram alur dan menulis program komputer sendiri.

label : webwww.iaincirebon.ac.id/tmtk
dkinantips.blogspot.com
fitthree16.blogspot.com

Thursday, November 29, 2012

Metode Secant

Pengertian Metode Secant
Metode secant merupakan perbaikan dari metode regula-falsi dan newton raphson dimana kemiringan dua titik dinyatakan sacara diskrit, dengan mengambil bentuk garis lurus yang melalui satu titik.

f’ (X) =( f (Xn) – f (Xn-1)) / (Xn – Xn-1)
Xn+1 = Xn – ( (f(Xn) (Xn – Xn-1)) / ( f(Xn) -f(Xn-1) )
Tujuan dan Fungsi
Tujuan metode secant adalah untuk menyelesaikan masalah yang terdapat pada metode Newton-Raphson yang terkadang sulit mendapatkan turunan pertama yaitu f‘ (x).
Fungsi metode secant adalah untuk menaksirkan akar dengan menggunakan diferensi daripada turunan untuk memperkirakan kemiringan/slope.
Algoritma Metode Secant
1. Definisikan fungsi F(x)
2. Definisikan torelansi error (e) dan iterasi maksimum (n)
3. Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya terdapat akar yaitu x0 dan x1,sebaiknya gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik pendakatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan.
4. Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan y1
5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |F(xn)|
Xn+1 = Xn – Yn (Xn – Xn-1 / Yn – Yn-1)

6.Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir.

Contoh Soal

Hitung akar persamaan dari : f(x) = x3 + x2 - 3x -3
dimana x1 = 1 dan x2 = 2 ?
Jawab :
f(1) = – 4
f(2) = 3
Iterasi I :
x3 = x2 – (f(x2) (x2 – x1) / f(x2)-f(x1))
   = 2 – (3 (2-1) / 3 – (-4))
       = 1,57142
F (1.57142) = -1.36449
Iterasi 2 :
x4 = x3 – (f(x3)(x3-x2) / f(x3)-f(x2))
   = 1.57142 – (-1,36449) (1.57142 – 2)
                     ———————————
   -1.36449 – 3
         = 1,70540
F (1.70540) = -0.24774
Iterasi 3 :
x5 = x4 – (f(x4)(x4-x3) / f(x4)-f(x3))
        = 1.70540 – (-0.24774) (1.71 – 1.57)
                           ————————-
                           (-0.24774)-(-1.36449)
        = 1.73514
F (1.73514) = 0.02925
Iterasi 4 :
x6 = x5 – (f(x5)(x5-x4) / f(x5)- f(x4))
= 1.73514 – 0.02925 (1.73514 – 1.70540)
   ————————————
   0.02925 – (-0.24774)
      = 1.73200
F (1.73200) = -0.00051
Iterasi 5 :
x7 = x6 – (f(x6)(x6-x5) / f(x6) – f(x5))
   = 1.73200 – (-0.00051)(1.73200 – 1.73514)
   ————————————–
   – 0.00051 – 0.02925
   = 1.073205
F (1.073205) = 0
.: maka akarnya adalah 1.073205

n	xn	f (xn)	xn – xn-1	f (xn) – f (xn-1)
1	1	-4	-	-
2	2	3	1	7
3	1,57142	-1,36449	-0,42858	-4,36449
4	1,70540	-0,24774	0,13398	1,11675
5	1,73514	0,02925	0,02974	0,27699
6	1,73200	-0,00051	-0,00314	-0,02976
7	1,073205	0	-	-

Iterasi dapat dihentikan pada iterasi ke-7
Karena nilai f(x7) = 0, sehingga ditemukan salah satu akarnya = 1,073205
Selanjutnya dapat dilihat di web www.iaincirebon.ac.id/tmtk

Tuesday, November 27, 2012

ELIMINASI GAUSS

1. Pengertian Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Metode Eliminasi Gauss adalah salah satu cara yang paling awal dan banyak digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linier. Cara ini ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss. Prosedur penyelesaian dari metode ini adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Secara umum, sistem persamaan linier adalah sebagai berikut:

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ ... + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ ... + a_2nx_n = b₂

: : : = :

a_n1x₁+ a_n2x₂+ ... + a_nnx_n = b_n

Dalam mencari solusi suatu sistem persamaan linear dengan metode eliminasi gauss,bentuk operasi matrik di atas dimanipulasi menjadi matrik augment, yaitu suatu matrik yang berukuran n x (n+1) seperti berikut ini :

Selanjutnya adalah proses triangularisasi dan substitusi-mundur dalam operasi matrik terhadap sistem persamaan linear sebagai contoh yang terdiri dari empat persamaan matematika,yang sudah diubah kedalam bentuk matrik seperti dibawah ini :

Lalu kita dapat membuat matrik augment sebagai berikut :

Kemudian kita lakukan operasi triangularisai terhadap matrik augment, dimulai dari kolom pertama, yaitu :

Lalu dilanjutkan ke kolom berikutnya:

Sebelum dilanjutkan ke substitusi mundur, perhatikan posisi masing-masing elemen matrik augment berikut:

2. Ciri-ciri Eliminasi Gauss

      a. Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)
      b. Baris nol terletak paling bawah
c. 1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya
      d. Dibawah 1 utama harus nol
Contoh :

Berikut contoh penyelesaian persamaan linear

Diketahui persamaan linear sebagai berikut:

x + 2y + z = 6

x + 3y + 2z = 9

2x + y + 2z = 12

Tentukan nilai x, y dan z!

Jawab:

Ubah persamaan linear ke dalam bentuk matriks, operasikan matriks tersebut seperti berikut:
b₁ x 1 untuk merubah a₁₁menjadi 1

b₂ – b₁ untuk merubah a₂₁ menjadi 0

b₃ – 2b₁ untuk merubah a₃₁ menjadi 0

b₃ + 3 b₂ untuk merubah a₃₂ menjadi 0

b₃ x ½ untuk merubah a₃₃ menjadi 1 ( matriks menjadi Eselon- baris)

Sehingga didapat 3 persamaan linear baru yaitu :

x + 2y + z = 6

y + z = 3

z = 3 kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan

y + z = 3

y + 3 = 3

y = 0

x+ 2y + z = 6

x + 0 + 3 = 6

x = 3

jadi, nilai x = 3 , y = 0 dan z = 3

3. Algoritma Eliminasi Gauss

Secara umum,sistem persamaan linear adalah sebagai berikut:

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ ... + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ ... + a_2nx_n = b₂
: : : : = :

a_n1x₁+ a_n2x₂+ ... + a_nnx_n = b_n

Algoritma dasar metode eliminasi gauss adalah sebagai berikut:

a. Ubahlah sistem persamaan linear tersebut menjadi matrik augment, yaitu suatu matrik yang berukuran n x (n + 1). Jelas terlihat bahwa elemen-elemen yang menempati kolom terakhir matrik augment adalah nilai dari bi; yaitu ai,n+1 = bi dimana i = 1, 2, ..., n.
b. Periksalah elemen-elemen pivot. Apakah ada yang bernilai nol? Elemen-elemen pivot adalah elemen-elemen yang menempati diagonal suatu matrik, yaitu a₁₁, a₂₂,..., a_nn atau disingkat a_ii. Jika a_ii _= 0, bisa dilanjutkan ke langkah no.3. Namun, jika ada elemen diagonal yang bernilai nol, a_ii = 0, maka baris dimana elemen itu berada harus ditukar posisinya dengan baris yang ada dibawahnya, (Pi) ↔ (Pj) dimana j = i + 1, i + 2, ..., n, sampai elemen diagonal matrik menjadi tidak nol, a_ii ≠ 0.
c.   Proses triangularisasi.
d.   Hitunglah nilai x_n
e.   Lakukanlah proses substitusi mundur untuk memperoleh x_n-1 , x_{n-2 ,
....,}x₂ , x₁

Demikianlah algoritma dasar metode eliminasi gauss. Selanjutnya algoritma dasar tersebut di rinci lagi sebelum dapat diterjemahkan kedalam bahasa pemrograman komputer.

DAFTAR PUSTAKA

Chapra, Steven dkk. 1996. Metode Numerik . Jakarta: Erlangga

Munir, Rinaldi. 2003. Metode Numerik. Bandung: Informatika

Salusu, A. 2008. Metode Numerik. Yogyakarta: Graha Ilmu
webwww,iaincirebon.ac.id/tmtk
dkinantips.blogspot.com
fitthree16.blogspot.com