Metode Bisection n' Regula Falsi

Dasar Teori

Penyelesaian persamaan non linier adalah penentuan akar-akar persamaan non linier. Akar sebuah persamaan  adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai  sama dengan nol. Dengan kata lain akar persamaan  adalah titik potong antara kurva  dan sumbu X.

Beberapa persamaan polynomial yang sederhana dapat diselesaikan dengan theorema sisa, sehingga tidak memerlukan metode numerik dalam menyelesaikannya, karena metode analitik dapat dilakukan.Tetapi bagaimana menyelesaikan persamaan . Tampaknya sederhana, tetapi untuk menyelesaikan persamaan non linier merupakan metode pencarian akar secara berulang-ulang. Beberapa metode akan dibahas dalam bab ini, diantaranya adalah metode bisection dan regula falsi.

Metode Bisection

Sebelum lebih jauh membahas metode bisection, ada sebuah teorema yang senantiasa digunakan dalam proses iterasi sebagai berikut.

Theorema 1.

Suatu fungsi f(x) terdefinisi dan diketahui sebuah range . Fungsi f(x) akan mempunyai akar bila  dan  berlawanan tanda atau memenuhi

Ide awal metode ini adalah metode table, dimana area dibagi menjadi N bagian. Hanya saja metode bisection ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.

Gambar 1. Pencarian akar menggunakan metode bisection

Untuk menggunakan metode bisection, terlebih dahulu ditentukan batas bawah (a) dan batas atas (b). Kemudian dihitung nilai tengah :

 Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar. Secara matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau dituliskan . Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar.

Metode Regula Falsi

Metode regula falsi adalah metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range. Seperti halnya metode biseksi, metode ini bekerja secara iterasi dengan melakukan update range. Titik pendekatan yang digunakan oleh metode regula-falsi adalah :

Jika dituliskan dalam bentuk yang lain, nilai akar x adalah sebagai berikut :

Dengan kata lain titik pendekatan x adalah nilai rata-rata range berdasarkan f(x). Metode regula falsi secara grafis digambarkan sebagai berikut :

Gambar 2. Metode regula falsi 

Prosedur Matlab

 Algoritma metode bisection

1. Definisikan fungsi f(x) yang akan dicari akarnya.
2. Tentukan nilai a dan b
3. Tentukan torelansi e dan iterasi maksimum N
4. Hitung f(a) dan f(b)
5. Jika f(a).f(b)>0 maka proses dihentikan karena tidak ada akar, bila tidak dilanjutkan.
6. Hitung  
7. Hitung f(x)
8. Bila f(x).f(a)<0 maka b=x dan f(b)=f(x), bila tidak a=x dan f(a)=f(x)
9. Jika |b-a|<e atau iterasi>iterasi maksimum maka proses dihentikan dan didapatkan akar = x, dan bila tidak, ulangi langkah 6.

Algoritma metode regula falsi

1. Definisikan fungsi f(x).
2. Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b).
3. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n).
4. Hitung f(a) dan f(b).
5. Untuk iterasi i = 1 s/d n atau error > e
   • 
     
   • hitung f(x)
   • Hitung error e_i.
   • Jika f(x).f(a) <0 maka b = x dan f(b) = f(x). Jika tidak a  x dan f(a) = f(x)

6. Akar persamaan adalah x.



Flowchart metode bisection



Flowchart metode regula falsi







Selanjutnya dapat di lihat di web www.iaincirebon.ac.id/tmtk